Mathematik: Struktur- und Erkenntnismittel in Natur und Kunst Altgriechenlands

Mathematik: Struktur- und Erkenntnismittel in Natur und Kunst Altgriechenlands

 

Ähnlich wie in der zeitgenössischen Kunst, die ihre Gegenstände abstrakt zu geometrisch vereinfachten Formen verdichtet, ging man bereits seit Hesiod und Anaximander davon aus, dass (vergleichsweise einfache) durch Alltag, Sprache oder mystische Erfahrung vorgegebene Zahlen und geometrische Formen als strukturierendes Element der »Natur« immanent sind; diese sollten deshalb auch übertragbar auf etwas sein, das sich nicht unmittelbar abzählen oder ausmessen lässt - und geeignet, die »Natur« bei der abstrahierenden Nachahmung in der Kunst besser wiederzugeben.

 

Beispiele hierfür sind dem Gelände aufgezwungene schachbrettartige Anlagen neu gegründeter Städte durch den Architekten Hippodamos von Milet und gemäß dem »Kanon« des Polyklet von Argos geometrisch konstruierte Statuen mit dem menschlichen Körper als Grundmaß entnommenen Längenmaßen in ganzzahligen »symmetrischen« Verhältnissen, aber auch nach bestimmten Zahlen- und Streckenverhältnissen jeweils maßstäblich konstruierte Tempelbauten und Geschütze. Letztere Konstruktionsprinzipien blieben sogar weit über das 5. Jahrhundert hinaus in Gebrauch.

 

Ein frühes Beispiel für die der Natur immanente, »physische« Mathematik ist Anaximanders geometrisch-physikalisches Weltbild mit der Möglichkeit maßstabsgetreuer Nachbildung; verwendete daraufhin den Gnomon zur Bestimmung des täglichen und jährlichen Sonnenstandes, verfertigte einen Himmelsglobus und eine Karte der kreisrunden Erde. Das Prinzip, durch »natürliche« Grenzen gebildete Länder geometrisch zu erfassen, führte dann Hekataios von Milet detailliert aus. Philolaos von Krotonerschloss später eine prinzipiell nicht sichtbare Gegenerde, damit die Anzahl der Himmelskörper der heiligen Zehnzahl entspreche, Petron von Himera »berechnete« die Anzahl der Welten zu 183, andere erschlossen aus der Notwendigkeit der Vollkommenheit der Weltkörper die Kugelform der Erde. Dem Pythagoreer Hippasos von Metapont wird die Entdeckung zugeschrieben, dass die durch einen beweglichen Steg abgetrennten Teillängen der Saite eines Monochords, die nach dem Anschlag zwei harmonisch klingende Töne, eine Konsonanz, ergeben, sich wie kleine ganze Zahlen verhalten (Oktave 2 : 1, Quinte 3 : 2, Quarte 4 : 3). Proportionenlehre (Brüche kannten die Griechen nicht) und Harmonielehre haben hier auch terminologisch ihren Ursprung: Die »Differenz« von Quinte und Quarte ergibt das Verhältnis 9 : 8 für einen Ganzton - (3 : 2) : (4 : 3) = 9 : 8 -; die »Summe« von Quarte und Quinte - (3 : 2)×(4 : 3) = 2 : 1 - eine Oktave, die somit sechs Ganztöne (fünf Ganz- und zwei Halbtöne) umfasst.

 

Das 5. Jahrhundert kannte noch keine ontologische Zäsur zwischen den Gegenständen der Mathematik und materiellen Dingen; den Pythagoreern ist nach Aristoteles vielmehr alles Zahl gewesen (die Prinzipien der Zahlen seien die Prinzipien der Dinge); derartige »physische« Harmonien als der Natur immanentes Strukturelement konnten daher auch auf andere natürliche Bereiche übertragen werden, soweit eine Analogie es zu rechtfertigen schien. Für den Mathematiker Archytas von Tarent bildete die Anzahl Acht der Töne einer Tonleiter und der bewegten Himmelskörper ein solches »analogon«, weshalb letztere durch ihre Bewegung eine ebensolche Tonfolge erzeugten sollten. Platon formte diese Theorie zu einer harmonischen Sphärensymphonie aus. Bis auf die später bestätigte Kugelform der Erde hat allerdings kein Ergebnis der »physischen Mathematik« der empirisch orientierten Naturforschung standgehalten.

 

Mit den Höhepunkten der »physischen Mathematik« fielen zeitlich auch die Anfänge einer neuen Mathematik zusammen. Dem Verfahren, von einem der Natur (dem Menschen), einem Artefakt oder dem Maßsystem entnommenen Grundmaß auszugehen, dem alles »zugemessen« wird (»symmetrisch« ist), entsprach dabei die »Problemata-Methode«: ein einfacher mathematischer Sachverhalt wurde plausibel gemacht, auf den als bewiesene Grundlage sämtliche anderen »Probleme« reduziert wurden. Parallel dazu entstanden erste leistungsfähigere, deduktiv-axiomatische Systeme mit exakten Definitionen der Begriffe und Relationen - etwa dessen, was als einander gleich zu gelten habe - sowie mit einfachen, nicht aus einfacheren Sätzen abzuleitenden Aussagen als vorauszusetzenden Grundsätzen (Axiomen); alle nach logisch nachvollziehbaren Regeln daraus abgeleiteten Sätze sollten sodann, unter der Voraussetzung der Anerkennung der Axiome, als bewiesen gelten - was man zuvor nur in der Geometrie aufgrund von Deckungsgleichheit lediglich hatte »zeigen« können.

 

Ältere Pythagoreer und Zeitgenossen Platonshaben Wesentliches zur Entstehung und Durchsetzung dieser Mathematiken beigetragen. In den »Elementen«, die der große Mathematiker Euklid um 300 v. Chr. zusammenstellte, dürften nur wenige mathematische Sachverhalte neu gewesen sein. Aber die einheitlich-systematische Zusammenfassung aller älteren Erkenntnisse - etwa zu Proportionen- und Ähnlichkeitslehre, zur Arithmetik, zur Geometrie, zur Stereometrie der fünf Platonischen oder regulären Körper - machte sie für anderthalb Jahrtausende zum unübertroffenen Klassiker, sodass neue Gebiete später nach diesem Muster erschlossen wurden - in der Antike etwa die Kegelschnitte durch Apollonios von Perge, aber auch Anwendungsbereiche wie Mechanik, Sphärik und Sehnenlehre.

 

Aus einer wohl berechtigten Kritik an der »physischen Mathematik« - etwa durch den Komödiendichter Aristophanes, der geometerische Stadtplanungen als »Wolken-Kuckucksheim« verspottete -, zog Platon dann den für ihn noch einzig möglichen Schluss: dass die wahrnehmbare materielle »Natur« nicht mathematischen Formen und Gesetzmäßigkeiten folge, vielmehr stets von solchen Idealformen abweiche und dass dies sogar das in ihrer Stofflichkeit begründete Wesen dieser Natur sei. Er trennte daraufhin strikt die mit den Sinnen wahrnehmbare und veränderliche materielle Welt von der nur mit dem Geiste erfassbaren unveränderlichen Welt der Ideen und der mathematischen Gebilde als ihrem Abbildungsbereich. Aristoteles dagegen zog in seiner empirisch orientierten Physik den umgekehrten Schluss, dass die Mathematik nicht zum Wesen der Natur gehöre, vielmehr abstrahierendes Konstrukt des menschlichen Intellekts sei, sodass in der qualitativen, empirischen Physik die Mathematik lediglich zur Beschreibung von Bewegungsvorgängen dienen könne.

 

Eine mathematische Naturwissenschaft im Sinne Platons ist denn auch erst zu Beginn der Neuzeit von Johannes Kepler und Galileo Galilei tatsächlich ausgeführt worden. Zunächst jedoch hatte die mathematische Astronomie eine empirisch überprüfbare Kinematik als blosse Beschreibung von Bewegungen zu entwickeln und sich dazu, beginnend mit Aristoteles, rein auf die Analyse der ungleichförmig durchlaufenen Perioden der Planeten beschränken müssen. Anfänge dazu finden sich bereits in der Platonischen Schule bei Eudoxos von Knidos, der die Planetenbewegung mittels konzentrischer Sphären analysierte. Ihm folgten mit zunehmender Genauigkeit der astronomischen Beobachtung komplexere Theorien bei den Astronomen Appollonios von Perge, Hipparchos von Nikaia bis hin zur Ausgleichstheorie des Ptolemäus.

 

Prof. Dr. Fritz Krafft

 

Literatur:

 

Die Philosophie der Antike, Band 1: Röd, Wolfgang: Von Thales bis Demokrit. München ²1988.